Ваше благополучие зависит от ваших собственных решений.

Джон Дэвисон Рокфеллер

Меню сайта
Финансы
Доставка из Китая
Пенсионное страхование
Политика
Новости
Реклама
Облако Тегов
Архив
Реклама
Вести экономика

Zero To Hero

  1. Звідки беруться градуси?
  2. Математичні розрахунки за Сонцем виглядають цілком доречними
  3. Радіани сперечаються з градусами
  4. Радіани: скажи егоїзму немає
  5. Що в імені тобі моєму?
  6. Використання радіан
  7. Приклад 1: Колеса автобуса
  8. Приклад 2: sin (x)
  9. Так в чому ж сенс?

Цілком очевидно, що в колі 360 градусів, чи не так?

А ось і ні. Більшість з нас абсолютно не розуміють, чому в колі 360 градусів. Ми запам'ятовуємо це магічне число як «розмір окружності», а потім, вивчаючи фізику або вищу математику, дивуємося всім цим «радіанах».

«Радіани роблять математику простіше!» - так кажуть математики; от би вони ще навчилися конкретніше пояснювати, в чому полягає простота (щоб і ми відчували себе в дискусіях на тему рядів Тейлора, як риба в воді). Сьогодні ми відкриємо, що насправді являють собою радіани, і зрозуміємо, чому саме вони роблять математику простіше.

Звідки беруться градуси?

До чисел і мови слів у нас були зірки. Стародавні цивілізації використовували астрономію для визначення пір року, передбачення майбутнього і задобрювання богів (якщо вже приносити в жертву богам людей, то краще робити це в правильний час).

І як все це відноситься до кутів? Спробуйте розгадати: чи не дивно те, що в окружності 360 градусів, а в році 365 днів? І з чого це раптом сузір'я протягом року здійснюють оборот на небосхилі?

Сперечаємося, ви не зможете визначити пору року по картині нічного неба? Ось сузір'я Великої Ведмедиці, видиме в 2008 році з Нью-Йорка:

Сузір'я щоночі трохи просуваються по колу. Якщо Ви будете дивитися на небо в один і той же час (наприклад, опівночі), то помітите, що сузір'я здійснюють повне коло по небу протягом року. Ось теорія про виникнення градусів:

  • Люди помітили, що за рік сузір'я здійснювали повне коло
  • Кожен день вони відсувалися зовсім на трошки (це і є «градус»)
  • Оскільки в році близько 360 днів, то і в колі було 360 градусів.

Але, є одне але ... Чому б не зробити 365 градусів в окружності?

Простим древнім цю похибку: вони користувалися сонячним годинником, і не знали, що за рік мало набігти рівно 365.242199 градусів або днів, як вам тепер відомо.

360 - досить точна цифра для тих часів. Вона добре узгоджується з Вавилонської 60-річної системи числення, а також відмінно ділиться (на 2, 3, 4, 6, 10, 12, 15, 30, 45, 90 ... ну ви зрозуміли).

Математичні розрахунки за Сонцем виглядають цілком доречними

Землі везе: ~ 360 - відмінне кількість днів в році. Але ця цифра виглядає досить суб'єктивно: на Марсі у нас було б ~ 680 градусів в окружності, так як марсіанський рік триває довше (і сам марсіанський день також триває довше, як ви розумієте). У деяких країнах Європи люди користуються градами , При яких коло доводиться ділити на 400 частин.

Багато з пояснень сходяться до наступного: «Ну, градус - досить суб'єктивна міра, але нам потрібно було вибрати якесь число». Не зараз: далі ми побачимо, що ж насправді приховують градуси.

Радіани сперечаються з градусами

Градус - це те, наскільки мені, стоячи в центрі стадіону, доводиться повернути голову, щоб побачити людину, що біжить по біговій доріжці.

Уявіть, що ви помітили одного, що біжить по величезному колу:
- Привіт, як далеко ти добіг?
- Ну, пробігся я нехило, близько 10 кілометрів.
- Ти що, зовсім? Як сильно я повернув свою голову, щоб тебе побачити?
- Що?
- Я поясню словами коротший для нетямущих. Я в центрі кола. Ти втік навколо. Наскільки ... я ... повернув ... свою ... голову?
- Придурок.

Егоїстично, чи не так? Ось як вся ця математика побудована! Ми пишемо рівняння по типу «Слухай, як сильно я повернув свою голову, щоб побачити рухому планету / маятник / колесо?» Я впевнений, що ви ніколи не думали про те, що відчуває, про що мріє і на що сподівається маятник. Це егоїстичний підхід. Чи не здається вам, що рівняння повинні бути простими не тільки для глядача, а й для самого бігуна?

Радіани: скажи егоїзму немає

Багато речей з фізики (та й з життя!) Змушує нас вилізти зі своєї звичної системи координат і подивитися на речі під іншим кутом. Замість того, щоб обчислювати поворот своєї голови, задумайтеся, як далеко просунувся бігун.

Градуси вимірюють кут по повороті голови. А радіани вимірюють кути по пройденої дистанції.

Але саме по собі відстань не особливо корисно, так як дистанція в 10 км може складатися з різної кількості кіл, все залежить від довжини самого кола. Так що ми ділимо пройдену дистанцію на радіус кола, щоб отримати приведений кут:

Так що ми ділимо пройдену дистанцію на радіус кола, щоб отримати приведений кут:

Ви часто будете зустрічати цю ж формулу в такому вигляді:

Ви часто будете зустрічати цю ж формулу в такому вигляді:

кут в радіанах (тета) - це довжина дуги (s), поділена на радіус (r).

Окружність описує 360 градусів або 2π радіан - пройти все коло буде 2 * π * r / r. Тобто, радіан - це приблизно 360 / (2 * π) або 57.3 градусів.

Сподіваюся, ви не будете думати, як я: «Ну ось, ще одна незрозуміла одиниця. 57.3 - таке дивне число ». Воно дивне тільки тому, що ви все ще думаєте про себе!

Пройти 1 радіан (одиницю) - цілком собі нормальна дистанція для подорожі.

Іншими словами, наш «чистий, рівний кут в 90 °» означає те ж, що і незрозумілі π / 2 одиниці для пройденого бігуном шляху. Подумайте про це: «Ей, хлопець, а не пробіжиш ти для мене ще 90 °? Скільки це? А, ну так, для тебе це буде π / 2 кілометри ». Для бігуна дистанція в градусах виглядає також дивно, як і поворот в радіанах для глядача.

Радіани в математиці - це як би поставити себе на місце іншого: пересунути свою точку зору з повороту голови на рух бігуна.

Що в імені тобі моєму?

Радіани - це одиниця виміру руху по колу, що характеризується радіусом. Я думаю, слово «радіан» ілюструє саме зв'язок з радіусом руху.

По суті, радіани - це такі ж числа, як 1.5 або 73, без будь-яких одиниць виміру (у формулі «радіани = пройдений шлях / радіус» довжина ділиться на довжину, так що будь-які одиниці вимірювання скорочуються).

Але, кажучи практичною мовою, ми не математичні роботи, так що простіше думати про радіанах як про «шляхи», пройденого за одиничному колі.

Використання радіан

Я поки і сам звикаю думати радіанами. Але ми вже досить близько підібралися до поняття «дистанції бігуна»:

  • Ми використовуємо «вирощений в хвилину», а не «градусів в секунду» при вимірюванні певних кутових швидкостей. Це ближче до точки зору бігуна ( «Як багато кіл він вже намотав?»)
  • Коли супутник рухається навколо Землі, ми розуміємо його швидкість як «кілометрів на годину», а не «градусів на годину». Розділіть цю швидкість на відстань від землі до супутника, і ви отримаєте орбітальну швидкість в радіанах на годину.
  • Синус, ця чудова функція, визначається в радіанах, як:

Синус, ця чудова функція, визначається в радіанах, як:

Ця формула працює, тільки якщо х представлений в радіанах! Чому? Синус безпосередньо пов'язаний з пройденим шляхом, а не з поворотом голови. Але ми відкладемо цю розмову до наступного разу.

Приклад 1: Колеса автобуса

Давайте спробуємо розібрати реальний приклад: у вас є автобус з колесами, радіус яких 2 метри (це автобус в стилі монстр-трак). Я скажу, як швидко обертаються колеса, а ви мені скажете, як швидко їде автобус. Чи готові? «Колеса обертаються зі швидкості 2000 градусів в секунду». Ви думаєте:

  • Добре, колеса обертаються на 2000 градусів в секунду. Це означає, вони роблять 2000/360 або 5 і 5/9 обороту в секунду. Довжина кола = 2 * π * r, так що автобус рухається зі швидкістю, ем, 2 * 3.14 * 5 і 5/9 ... де ж мій калькулятор ...

«Колеса проходять 6 радіан в секунду». Ви подумаєте:

  • Радіани - це довжина одиничному колі, ми просто масштабується цю величину згідно реальному радіусу, щоб розрахувати, як далеко ми заїдемо. 6 * 2 = 12 метрів в секунду. Наступне питання.

Вау! Ніяких божевільних формул, ніякого π - просто множимо, щоб конвертувати кутову швидкість в лінійну. А все тому, що радіани розмовляють мовою тіла, що рухається.

Зворотна дія також просте. Припустимо, що ми мчимо 30 метрів в секунду по автостраді (108 км / ч) на 24-дюймових колесах (радіус яких дорівнює 30 см). Як швидко обертаються колеса?

Ну, 30 метрів в секунду / 0.3 м радіусу = 100 радіанів в секунду.

Це було просто.

Приклад 2: sin (x)

Прийшов час для прикладу потужніший. Виберіть число градусів (х) і обчисліть значення sin (x) в калькуляторі:

Коли ви берете х дуже маленьким, на зразок 0.01, sin (x) теж стає маленьким. І ставлення sin (x) / x буде близько 0.017 - що це означає? І ще дивніше, що означає розподіл або множення на градуси? Чи можна мати квадратні або кубічні градуси?

Радіани нас врятують. Знаючи, що вони відповідають за пройдену дистанцію (це не просто пропорція!), Ми можемо інтерпретувати рівняння таким чином:

  • х - це те, як далеко ви пройшли по колу
  • sin (x) - це те, як високо ви піднялися по ньому
  • Так що sin (x) / x - це відношення того, як високо ви перебуваєте, до того, як далеко ви пройшли: кількість енергії, яке пішло в напрямку «вгору». Якщо ви рухалися вертикально, то це відношення дорівнюватиме 100%. Якщо ви рухалися горизонтально, то рівність буде давати 0%.

Якщо ви рухалися горизонтально, то рівність буде давати 0%

Коли щось підсувається на крихітне відстань, як 0 або 1 градус з колишнього місця, воно рухається практично вгору. Якщо ви зробить крок ще на меншу відстань, наприклад з 0 до 0.00001 градуса, то ви дійсно пройдете прямо вгору. Пройдену відстань (х) дуже близько до висоті (sin (x)).

Чим менше х, тим ближче відношення до 100% - більше руху відбувається вгору.

Радіани допомагають побачити, інтуїтивно, чому sin (x) / x прагне до 1 у міру зменшення х. Ми просто тупцюємо на крихітному відрізку шляху вгору. Між іншим, це також пояснює, чому sin (x) ~ x для маленьких чисел.

Звичайно, ви можете точно довести це за допомогою калькулятора, але мислення радіанами допомагає вам це зрозуміти.

Запам'ятайте, ці зв'язки працюють тільки при вимірюванні кутів радіанами. З градусами ви порівнюєте висоти на колі (sin (x)) з тим, наскільки якийсь глядач Поверніть свою голову (х градусів).

Так в чому ж сенс?

Градуси займають своє місце в нашому житті. Адже нам важливо знати, наскільки треба повернути телескоп, розгорнути сноуборд або покриття кермом? За законами природи ми спостерігаємо за тим, як рухаються інші. І радіани більше підходять тим, хто рухається, ніж тим, хто за ними спостерігає. У мене пішло багато років на те, щоб зрозуміти:

  • Градуси обрані довільно, так як вони грунтуються на сонці (365 днів ~ 360 градусів), але вони як би йдуть від зворотного, тому що описують процеси з точки зору спостерігача.
  • Радіани описують рух з точки зору самих його учасників, і тому «все стає на свої місця». Конвертувати кутову швидкість в лінійну досить просто, і ідеї на кшталт sin (x) / x набувають сенсу.

Навіть кути можна розглядати з більш, ніж однієї точки зору. Розуміння радіан роблять математичні та фізичні формули більш осмисленими.

Приємних обчислень!

Переклад статті « Intuitive Guide to Angles, Degrees and Radians »

Звідки беруться градуси?
Цілком очевидно, що в колі 360 градусів, чи не так?
Звідки беруться градуси?
І як все це відноситься до кутів?
Спробуйте розгадати: чи не дивно те, що в окружності 360 градусів, а в році 365 днів?
І з чого це раптом сузір'я протягом року здійснюють оборот на небосхилі?
Сперечаємося, ви не зможете визначити пору року по картині нічного неба?
Чому б не зробити 365 градусів в окружності?
Ти що, зовсім?
Як сильно я повернув свою голову, щоб тебе побачити?
Профиль
Реклама
Деловой календарь
Реклама
   
p329249_energy © 2016