- однорідні розмальовки
- упаковка кіл
- варіанти
- Пов'язані багатогранники і мозаїки
- Побудова Вітхоффа з квадратної мозаїки
- Пов'язані мозаїки в інших симетріях
- Див. також
Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії
Усічена квадратна мозаїка Тип полуправильная мозаїка конфігурація вершини 4.8.8]] символ Шлефлі t {4,4}
tr {4,4} або t {4 4} {\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 4 \ end {Bmatrix}}} символ Вітхоффа 2 | 4 4
4 4 2 | симетрії p4m, [4,4], (* 442) симетрії
обертання p4, [4,4] +, (442) Діаграми Коксетер - Динкіна
B або Група Коксетер H 4, [5,3,3,3] подвійні стільники Розділена квадратна мозаїка Властивості Ізогональние стільники
В геометрії усічена квадратна мозаїка - це напівправильні мозаїки з правильних багатокутників на евклідової площини з одним квадратом і двома восьмикутниками в кожній вершині . Це єдина мозаїка з правильних опуклих багатокутників , Що містить дотичні сторонами восьмиугольники. символ Шлефлі мозаїки дорівнює t {4,4}.
Конвей називав ці мозаїки «truncated quadrille» (усічена кадриль), оскільки вона будується на основі операції усічення на квадратному паркеті (Кадрилі).
Інші назви для цієї схеми - середземноморська мозаїка і восьмикутна мозаїка, які часто використовують менші квадрати, а восьмиугольники мають перемежовуються довгі і короткі сторони.
На площині існує 3 правильних і 8 напівправильних мозаїк [En] .
однорідні розмальовки
Існує дві різні однорідні розмальовки усіченої квадратної мозаїки. (Назви розмальовок за індексами квітів навколо вершини (4.8.8): 122, 123.)
упаковка кіл
Мозаїка з усічених квадратів може бути використана для упаковки кіл , Якщо розмістити кола однакового діаметра з центрами в вершинах мозаїки. Кожне коло стосується 3 інших кіл в упаковці ( контактна число ) [1] . Оскільки всі багатокутники мають парне число сторін, кола можна розфарбувати альтернативним чином, як показано на другому малюнку.
варіанти
Варіант мозаїки, часто званої середземноморської мозаїкою, складається з більш дрібних квадратних плиток, розташованих діагонально щодо кордонів. Інші варіанти містять розтягнуті квадрати або восьмиугольники.
пифагорова мозаїка перемежовує великі і маленькі квадрати і топологічно еквівалентна усіченої квадратної мозаїці. У ній квадрати повернені на 45 градусів, а восьмиугольники перетворені в квадрати з вершинами в середині сторін.
Плетені мозаїка теж має ту ж топологію, що і усічена квадратна мозаїка зі сплющеними в прямокутники восьмикутниками .
Голландська кладка має ту ж топологічну структуру зі сплющеними в прямокутники восьмикутниками:
Пов'язані багатогранники і мозаїки
Усічена квадратна мозаїка (топологічно) є частиною послідовності однорідних багатогранників і мозаїк з вершинними фігурами 4.2n.2n:
3-мірні біусечённие кубічні стільники [En] , Спроектовані в площину дають дві копії усіченої мозаїки. На площині стільники можуть бути представлена як складова мозаїка, а комбінацію можна розглядати як квадратну мозаїку зі знятою фаскою [En] .
Побудова Вітхоффа з квадратної мозаїки
Якщо розфарбувати вихідні межі квадратної мозаїки червоним кольором, жовтим кольором плитки на місці вершин і синім кольором плитки на місці вихідних сторін, все 8 форм будуть різними. Однак, якщо розглядати межі однаково (як розфарбовані одним кольором), існує тільки три унікальні топологічні форми: квадратна мозаїка , Усічена квадратна мозаїка, Плосконос квадратна мозаїка .
Однорідні мозаїки на основі симетрії квадратної мозаїки симетрія : [4,4], (* 442) [4,4] +, (442) [4,4+], (4 * 2) {4,4} t {4,4} r {4,4} t {4,4} {4,4} rr {4,4} tr {4,4} sr {4,4} s {4,4} Uniform duals V4.4.4.4 V4.8.8 V4.4.4.4 V4.8.8 V4.4.4.4 V4.4.4.4 V4.8.8 V3.3.4.3.4
Пов'язані мозаїки в інших симетріях
Розділена квадратна мозаїка
Розділена квадратна мозаїка - це мозаїка евклідової площини, двоїста усіченої квадратної мозаїці. Вона може бути побудована, виходячи з квадратної мозаїки шляхом ділення кожного квадрата на чотири рівнобедрених прямокутних трикутника , Утворюючи нескінченну конфігурацію прямих . Цю ж мозаїку можна отримати з квадратної мозаїки шляхом ділення кожного квадрата на два трикутника по діагоналі, змінюючи по черзі напрямок діагоналей. Можна отримати мозаїку накладенням двох квадратних решіток, одна з яких повернута на 45 градусів відносно іншої і збільшена на множник √ 2.
Конвей називав цю мозаїку «kisquadrille» = «kis + quadrille» [2] , де kis - операція, яка додає центральну точку і трикутники і замінює тим самим межі квадратної мозаїки ( «Quadrille»). Мозаїка також іноді називається гратами Union Jack з огляду на схожість з прапором Великобританії [3] .
Див. також
Примітки
література
- Keith Critchlow. circle pattern H // Order in Space: A design source book. - New York: Thames & Hudson Inc., 1987. - ISBN 0-500-34033-1 .
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. - Wellesley, MA: AK Peters, Ltd., 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . Читальний зал 19 вересня 2010 року.
- John Stephenson. Ising Model with Antiferromagnetic Next-Nearest-Neighbor Coupling: Spin Correlations and Disorder Points // Phys. Rev. B. - 1970. - Т. 1, вип. 11. - DOI : 10.1103 / PhysRevB.1.4405 .
- Branko Grünbaum , GC Shephard. Chapter 2.1: Regular and uniform tilings // Tilings and Patterns. - New York: WH Freeman, 1987. - С. 58-65. - ISBN 0-7167-1193-1 .
- Robert Williams. The Geometrical Foundation of Natural Structure. - New York: Dover Publications, 1979. - ISBN 048623729X .
- Dale Seymour, Jill Britton. Introduction to Tessellations. - Palo Alto: Dale Seymour Publications, 1989. - С. 50-56. - ISBN 978-0866514613 .